数学建模

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初等模型

核军备竞赛

冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威胁战略”，核军备竞赛不断升级。
随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列核裁军协议。
在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。
估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施，平衡状态会发生什么变化。

模型假设

以双方（战略）核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威胁战略：

认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地：
己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。

在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。

摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。

图的模型

$ y= f(x)$~甲有$x$枚导弹，乙所需的最少导弹数（乙安全线）

$x = g(y)$~乙有$y$枚导弹，甲所需的最少导弹数（甲安全线）

当$x =0$，$y = y_0$, $y_0$~乙方的威胁值

$y_0$~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数。

$y = f(x)$ 是一条上凸曲线，若非上凸曲线，图2无交点

分析模型

乙方残存率$s $~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。

$x < y$

甲方以$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地中的$x$个，$sx$个基地未被摧毁， $y - x$个基地未被攻击。

$y_0 = sx + y - x$ => $y = y_0 + (1-s)x$

$x =y$
$y_0 = sy$ => $y = \frac {y_0}s$
$y<x<2y$
乙的$x-y$个基地被攻击两次，$s^2(x-y)$个未被摧毁
$y-(x-y) = 2y-x$个被攻击一次，$s(2y-x)$个未被摧毁
$y_0 = s^2(x-y)+s(2y-x)$ => $y = \frac {y_0}{s(2-s)} + \frac {1-s}{2-s}x$
$x = 2y$
$y_0 = s^2y$ => $y = \frac {y_0}{s^2}$
$x = ay$
$y = \frac {y_0}{s^a} = \frac {y_0}{s^{x/y}}$

$y_0$~威慑值 s~残存率

利用微积分的知识可知，$y$是一条上凸的曲线，且

$y_0$ 变大，曲线上移、变陡。
$s$ 变大，$y$减小，曲线变平。

模型解释

甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标。
=》乙方威胁值 $y_0$变大（其他因素不变）
=》乙安全线 $y= f(x)$上移
=》平衡点 $P \rightarrow P'$
=》$x’_m > x_m, y’_m>y_m$
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架。
=》乙安全线$y= f(x)$不变，甲方残存率变大，需要的核武器变少，威慑值$x_0$不变
=》 $x$减小，甲安全线$x = g(y)$ 向$y$轴靠近
=》 $P \rightarrow P'$ $x’_m < x_m, y’_m < y_m$
甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少
双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标。
（$x,y$仍为双方核导弹的数量）
=》双方威慑值$x_0,y_0$和残存率$s$均减小
乙安全线 $y=f(x)$
$y_0$减小 $\rightarrow$ $y$下移且变平
$s$变小 $\rightarrow$ $y$增加且变陡
=》 $P \rightarrow P’ ?$ $P \rightarrow P’’ ?$
双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析。

评述

对“核威胁战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程。
提出安全曲线的概念，给出它的一般形式。
通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式。
利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释。

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